Che cos’è l’infinito?

Che cosa significa infinito

Infinito significa letteralmente senza fine o senza limite. Nel linguaggio comune descrive qualcosa di smisurato; in matematica e in filosofia è invece un concetto preciso, che può riguardare un processo interminabile, una grandezza senza limite o una collezione con infiniti elementi.

Nessun numero finito, per quanto grande, è l’infinito. A un numero si può sempre aggiungere 1 e ottenerne uno maggiore: la successione 1, 2, 3, 4 e così via non raggiunge mai un ultimo numero chiamato infinito.

Il simbolo ∞ riunisce usi diversi che vanno letti nel loro contesto. In un limite può indicare che una variabile cresce oltre ogni soglia; nella teoria degli insiemi si studiano invece vere grandezze infinite, chiamate cardinalità.

Infinito potenziale e infinito attuale

L’infinito potenziale è un procedimento che si può continuare quanto si vuole senza completarlo: contare 1, 2, 3 e così via, dividere ancora un segmento o aggiungere una nuova cifra decimale. Ogni passaggio è finito, ma non esiste un ultimo passaggio obbligato.

L’infinito attuale considera invece una totalità infinita come un oggetto matematico completo, per esempio l’insieme di tutti i numeri naturali. Questa distinzione risale almeno ad Aristotele e ha attraversato per secoli matematica e filosofia.

La matematica moderna usa abitualmente insiemi infiniti definiti con regole rigorose. Ciò non significa che si debbano scrivere o osservare tutti i loro elementi: è la definizione dell’insieme a permettere di ragionare sull’intera collezione.

L’infinito è un numero?

Nel sistema dei numeri reali, quello usato per le comuni misure e operazioni, ∞ non è un numero. Scrivere x → ∞ significa che x cresce oltre qualsiasi valore prefissato, non che x raggiunge una destinazione numerica posta dopo tutti gli altri numeri.

In alcuni sistemi matematici si aggiungono formalmente +∞ e −∞ per rendere più comode certe definizioni. Questi simboli non obbediscono però a tutte le regole dell’aritmetica ordinaria: ∞ − ∞, 0 × ∞ e ∞/∞ non hanno un valore automatico.

Anche 1/∞ = 0 è una scorciatoia, non un’uguaglianza tra numeri reali. La formulazione corretta è che 1/x tende a 0 quando x tende a +∞. Altri sistemi, come cardinali e ordinali, trattano numeri infiniti con operazioni proprie.

Come si confrontano gli insiemi infiniti

Per confrontare la quantità di elementi di due insiemi si cerca una corrispondenza uno a uno, detta biiezione: ogni elemento del primo viene abbinato a uno e un solo elemento del secondo, senza lasciarne fuori nessuno.

Negli insiemi finiti una parte propria ha sempre meno elementi del tutto. Con gli insiemi infiniti può accadere il contrario: i numeri naturali 1, 2, 3, … possono essere abbinati ai soli numeri pari 2, 4, 6, … associando n a 2n. I due insiemi hanno quindi la stessa cardinalità, benché i pari siano contenuti nei naturali.

Questa proprietà spiega il celebre Hotel di Hilbert: un albergo con infinite camere tutte occupate può accogliere un nuovo ospite spostando chi è nella camera n alla camera n + 1. È un esperimento mentale, non un progetto realizzabile nel mondo fisico.

Che cos’è un infinito numerabile

Un insieme è numerabile quando i suoi elementi possono essere elencati in una sequenza e abbinati ai numeri naturali. La loro cardinalità viene indicata con ℵ₀, aleph-zero, il più piccolo cardinale infinito nella teoria usuale degli insiemi.

I numeri interi sono numerabili anche se comprendono positivi, negativi e zero: si possono ordinare come 0, 1, −1, 2, −2 e così via. Anche i numeri razionali, cioè le frazioni di interi, sono numerabili, nonostante tra due razionali ce ne siano sempre infiniti altri.

Numerabile non significa che si possa terminare il conteggio. Significa che esiste una regola capace di assegnare a ogni elemento una posizione finita nell’elenco, senza omissioni.

Perché i numeri reali formano un infinito più grande

Georg Cantor dimostrò che i numeri reali non sono numerabili. Anche limitandosi ai numeri tra 0 e 1, non esiste un elenco capace di contenerli tutti: la loro cardinalità, detta cardinalità del continuo, è maggiore di ℵ₀.

L’argomento diagonale immagina un elenco di numeri decimali e costruisce un nuovo numero cambiando la prima cifra del primo, la seconda del secondo e così via. Il numero ottenuto differisce da ogni riga in almeno una cifra, quindi non era nell’elenco, qualunque elenco si fosse proposto.

Occorre gestire con attenzione le doppie rappresentazioni decimali, come 0,4999… = 0,5, ma il ragionamento può essere formulato in modo da evitarle. La conclusione resta: esistono almeno due dimensioni diverse dell’infinito.

Esiste l’infinito più grande?

No. Il teorema di Cantor afferma che, dato qualsiasi insieme, l’insieme di tutti i suoi sottoinsiemi ha cardinalità strettamente maggiore. Perciò da ogni grandezza infinita se ne può costruire una più grande.

I cardinali descrivono quanti elementi contiene un insieme; gli ordinali descrivono invece tipi di ordine e posizioni in successioni ben ordinate. Per gli insiemi finiti le due idee sembrano quasi coincidere, mentre nel caso infinito seguono aritmetiche differenti.

Per esempio, aggiungere un elemento a un insieme numerabile non ne cambia la cardinalità: ℵ₀ + 1 = ℵ₀ nell’aritmetica cardinale. Nell’aritmetica ordinale, invece, l’ordine di ciò che viene aggiunto conta e ω + 1 è diverso da ω.

Limiti, serie infinite e paradosso di Zenone

Il calcolo infinitesimale rende rigorosi processi con un numero illimitato di passaggi attraverso il concetto di limite. Una successione può avvicinarsi quanto si vuole a un valore finito senza che l’infinito diventi uno dei suoi termini.

La somma 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … contiene infiniti addendi, ma le somme parziali si avvicinano a 1. Si dice quindi che la serie converge a 1. Altre serie, come 1 + 1 + 1 + …, non convergono a un numero reale.

Questa idea risponde alla forma matematica del paradosso di Zenone: percorrere metà della distanza, poi metà di quella restante e continuare all’infinito non richiede necessariamente un tempo infinito, perché una serie di intervalli sempre più piccoli può avere somma finita.

Che cosa rappresenta il simbolo ∞

Il simbolo ∞ fu introdotto dal matematico inglese John Wallis nel 1655. La sua origine grafica non è certa: sono state proposte somiglianze con un antico segno romano per mille o con la lettera greca omega, ma non esiste una spiegazione definitivamente provata.

La forma ricorda anche una curva a otto disteso che può essere percorsa continuamente. Tuttavia il segno, da solo, non stabilisce quale nozione di infinito sia in gioco: deve essere interpretato nella formula o nella disciplina in cui compare.

In analisi può indicare un comportamento illimitato, in geometria gli estremi non limitati di una retta, in informatica un valore sentinella e nella cultura comune l’assenza di fine. Questi usi sono collegati, ma non identici.

L’universo è infinito?

L’universo osservabile è finito: possiamo ricevere informazioni soltanto da regioni la cui luce ha avuto il tempo di raggiungerci dall’inizio dell’espansione cosmica. Il suo confine osservabile non è però un muro né necessariamente il confine dell’intero universo.

Le osservazioni indicano che lo spazio è molto vicino alla geometria piatta su grande scala, ma ciò non basta a dimostrare che abbia estensione infinita. Uno spazio può essere finito senza avere un bordo, così come la superficie di una sfera è finita ma non presenta un margine, anche se la geometria tridimensionale è più complessa.

La scienza non ha stabilito se l’universo totale sia finito o infinito. Perciò l’infinito matematico è definito e studiato con rigore, mentre l’esistenza di qualcosa di fisicamente infinito resta una questione aperta da non confondere con le dimensioni dell’universo osservabile.

Casi particolari

• →L’infinito non è semplicemente un numero molto grande e non è un numero reale ordinario.
• →Una successione può continuare senza fine senza raggiungere un ultimo elemento chiamato infinito.
• →L’infinito potenziale è un processo interminabile; quello attuale tratta una totalità infinita come oggetto matematico.
• →Un insieme infinito può avere la stessa cardinalità di una sua parte propria, come naturali e numeri pari.
• →Naturali, interi e razionali sono numerabili e hanno cardinalità ℵ₀.
• →I numeri reali non sono numerabili e formano un infinito più grande di quello dei naturali.
• →Non esiste un infinito massimo: l’insieme dei sottoinsiemi di un insieme ha sempre cardinalità maggiore.
• →Espressioni come ∞ − ∞ e ∞/∞ sono forme indeterminate, non normali operazioni aritmetiche.
• →Una serie con infiniti termini può convergere a un valore finito, ma non tutte le serie convergono.
• →Non sappiamo se l’universo totale sia infinito; l’universo osservabile è una regione finita.